дано:
Количество разных крокодилов n = 10
Вероятность того, что в яйце окажется один из крокодилов p = 0.1
найти:
Математическое ожидание случайной величины X, равной количеству шоколадных яиц, которые придется купить для завершения коллекции.
решение:
Для нахождения математического ожидания X удобно использовать метод "коллекционера".
1. На первом этапе Ваня хочет получить первого крокодила. Вероятность получения нового крокодила составляет 0.1, следовательно, ожидаемое количество яиц, которое нужно купить, чтобы получить первого крокодила, будет равно:
E_1 = 1 / (0.1) = 10.
2. После получения первого крокодила вероятность получения второго крокодила составит 0.1 * 9/10 = 0.09, так как остаётся 9 новых крокодилов. Ожидаемое количество яиц для этого будет равно:
E_2 = 1 / (0.09) ≈ 11.11.
3. Для третьего крокодила вероятность составит 0.1 * 8/10 = 0.08. Ожидаемое количество яиц для его получения:
E_3 = 1 / (0.08) = 12.5.
4. Для четвёртого крокодила вероятность составит 0.1 * 7/10 = 0.07. Ожидаемое количество яиц:
E_4 = 1 / (0.07) ≈ 14.29.
5. Для пятого крокодила вероятность составит 0.1 * 6/10 = 0.06. Ожидаемое количество яиц:
E_5 = 1 / (0.06) ≈ 16.67.
6. Для шестого крокодила вероятность составит 0.1 * 5/10 = 0.05. Ожидаемое количество яиц:
E_6 = 1 / (0.05) = 20.
7. Для седьмого крокодила вероятность составит 0.1 * 4/10 = 0.04. Ожидаемое количество яиц:
E_7 = 1 / (0.04) = 25.
8. Для восьмого крокодила вероятность составит 0.1 * 3/10 = 0.03. Ожидаемое количество яиц:
E_8 = 1 / (0.03) ≈ 33.33.
9. Для девятого крокодила вероятность составит 0.1 * 2/10 = 0.02. Ожидаемое количество яиц:
E_9 = 1 / (0.02) = 50.
10. Наконец, для десятого крокодила вероятность составит 0.1 * 1/10 = 0.01. Ожидаемое количество яиц:
E_10 = 1 / (0.01) = 100.
Теперь мы можем суммировать все ожидаемые количества:
E(X) = E_1 + E_2 + E_3 + E_4 + E_5 + E_6 + E_7 + E_8 + E_9 + E_10.
Подставим значения:
E(X) = 10 + 11.11 + 12.5 + 14.29 + 16.67 + 20 + 25 + 33.33 + 50 + 100.
Сложим:
E(X) ≈ 10 + 11.11 + 12.5 + 14.29 + 16.67 + 20 + 25 + 33.33 + 50 + 100 ≈ 392.90.
ответ:
Математическое ожидание числа шоколадных яиц, которые придётся купить для завершения коллекции, равно примерно 392.90.