Задача а)
Дано:
длина плота L = 250 м = 0.25 км
время t = 3 мин = 3/60 ч = 0.05 ч
собственная скорость лодки V.
Найти: V.
Рассмотрим движение лодки. Пусть скорость течения реки равна v.
Скорость лодки вниз по течению: V + v
Скорость лодки вверх по течению: V - v
Общее время движения:
(0.25 / (V + v)) + (0.25 / (V - v)) = 0.05.
Умножим обе части на (V + v)(V - v):
0.25(V - v) + 0.25(V + v) = 0.05(V^2 - v^2).
0.25V - 0.25v + 0.25V + 0.25v = 0.05V^2 - 0.05v^2.
0.5V = 0.05V^2 - 0.05v^2.
Умножим на 100:
50V = 5V^2 - 5v^2.
5V^2 - 50V - 5v^2 = 0.
Решим это уравнение для V. Путем подбора или решения можно определить, что V = 20 км/ч (при v = 0).
Ответ:
собственная скорость лодки V = 20 км/ч.
---
Задача б)
Дано:
время t = 5 мин = 5/60 ч = 1/12 ч
собственная скорость лодки V = 12 км/ч.
длина плота L.
Найти: L.
Скорость лодки вниз по течению: 12 + v
Скорость лодки вверх по течению: 12 - v
Общее время:
(L / (12 + v)) + (L / (12 - v)) = 1/12.
Умножим обе части на (12 + v)(12 - v):
L(12 - v) + L(12 + v) = (1/12)(12^2 - v^2).
L(12 - v + 12 + v) = (1/12)(144 - v^2).
24L = (144 - v^2) / 12.
Умножим на 12:
288L = 144 - v^2.
Тогда:
L = (144 - v^2) / 288.
Значение v можно определить, например, по средним условиям, или оставить в параметрической форме. Если v не дано, можно оставить L в таком виде.
Ответ:
длина плота L = (144 - v^2) / 288 метров.