Question

Три мастера разной квалификации должны изготовить некоторое количество деталей. Один второй мастер мог бы выполнить работу на несколько часов быстрее, чем первый, а третий — на столько же часов быстрее, чем второй. Первый и второй мастера вместе выполнили бы работу за 288 ч, а первый и третий вместе — за 180 ч. Сколько часов потребуется одному первому мастеру, чтобы выполнить всю работу?

Answer 1

Дано:

t1 (время первого мастера на выполнение работы) = ?  
t2 = t1 - x (время второго мастера, на x часов быстрее первого)  
t3 = t2 - x = t1 - 2x (время третьего мастера, на x часов быстрее второго)  

Согласно условию:  
1. 1/t1 + 1/t2 = 1/288  
2. 1/t1 + 1/t3 = 1/180  

Найти:

t1

Решение:

Подставим t2 и t3 в уравнения:

1/t1 + 1/(t1 - x) = 1/288  
1/t1 + 1/(t1 - 2x) = 1/180  

Перепишем уравнения:

1/t1 + 1/(t1 - (t1 - t2)) = 1/288  
1/t1 + 1/(t1 - (t1 - t3)) = 1/180  

Умножим оба уравнения на t1(t1 - x) и t1(t1 - 2x):

t1 - x + t1 = t1(t1 - x)/288  
t1 - 2x + t1 = t1(t1 - 2x)/180  

Решая оба уравнения, получаем систему:

1. t1(t1 - x) = 288(2t1 - x)  
2. t1(t1 - 2x) = 180(2t1 - 2x)  

Теперь решим систему:

t1^2 - xt1 = 576t1 - 288x  
t1^2 - 2xt1 = 360t1 - 180x  

Решим первое уравнение:

t1^2 - 576t1 + 288x = xt1  
t1^2 - xt1 + 576t1 - 288x = 0  

Аналогично второе:

t1^2 - 360t1 + 180x = 2xt1  

Из двух уравнений можно выразить x через t1, а затем подставить обратно.

После расчётов найдём t1 = 720 ч.

Ответ:

Первому мастеру потребуется 720 часов для выполнения всей работы.