дано:
три цифры числа обозначим как a, b, c.
a + b + c = 12 (сумма цифр)
a^2 + b^2 + c^2 = 54 (сумма квадратов цифр)
число представляется как 100a + 10b + c.
если из этого числа вычесть 297, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке:
100a + 10b + c - 297 = 100c + 10b + a.
найти:
трехзначное число 100a + 10b + c.
решение:
1. Из уравнения 100a + 10b + c - 297 = 100c + 10b + a можно упростить до:
99a - 99c - 297 = 0.
Это приводит к:
a - c = 3, или a = c + 3.
2. Подставим a = c + 3 в первое уравнение:
(c + 3) + b + c = 12,
2c + b + 3 = 12,
2c + b = 9,
b = 9 - 2c.
3. Теперь подставим a = c + 3 и b = 9 - 2c во второе уравнение:
(c + 3)^2 + (9 - 2c)^2 + c^2 = 54.
4. Раскроем скобки:
(c^2 + 6c + 9) + (81 - 36c + 4c^2) + c^2 = 54.
Объединим все подобные члены:
6c^2 - 30c + 90 = 54,
6c^2 - 30c + 36 = 0.
5. Упростим уравнение, разделив на 6:
c^2 - 5c + 6 = 0.
6. Найдем корни уравнения с помощью формулы:
c = [5 ± sqrt((-5)^2 - 4 * 1 * 6)] / (2 * 1).
D = 25 - 24 = 1,
c = (5 ± 1) / 2.
Получаем два значения:
c1 = 3, c2 = 2.
7. Находим соответствующие значения для a и b:
- Если c = 3, тогда a = 6 и b = 3.
- Если c = 2, тогда a = 5 и b = 5.
Проверим оба случая:
Для c = 3, a = 6, b = 3:
a + b + c = 6 + 3 + 3 = 12;
a^2 + b^2 + c^2 = 6^2 + 3^2 + 3^2 = 36 + 9 + 9 = 54.
Для c = 2, a = 5, b = 5:
a + b + c = 5 + 5 + 2 = 12;
a^2 + b^2 + c^2 = 5^2 + 5^2 + 2^2 = 25 + 25 + 4 = 54.
Оба набора цифр удовлетворяют условиям задачи. Проверяем соответствие при вычитании 297:
1. Для числа 633:
633 - 297 = 336.
Число 336 действительно является обратным к 633.
2. Для числа 552:
552 - 297 = 255.
Число 255 не является обратным к 552.
Следовательно:
ответ:
Задуманное число Паши - 633.