дано:
S = 180°(n - 2) — сумма углов выпуклого многоугольника, где n — число сторон (или углов) многоугольника.
найти:
число сторон n многоугольника, при котором истинны ровно два из четырех утверждений о сумме углов.
решение:
1. Рассмотрим каждое из утверждений по порядку:
1) S > 300°
180°(n - 2) > 300°
n - 2 > 300° / 180°
n - 2 > 1.67
n > 3.67.
n >= 4.
2) S > 500°
180°(n - 2) > 500°
n - 2 > 500° / 180°
n - 2 > 2.78
n > 4.78.
n >= 5.
3) S > 700°
180°(n - 2) > 700°
n - 2 > 700° / 180°
n - 2 > 3.89
n > 5.89.
n >= 6.
4) S > 900°
180°(n - 2) > 900°
n - 2 > 900° / 180°
n - 2 > 5
n > 7.
n >= 8.
2. Теперь рассмотрим возможные значения n и проверим, сколько утверждений будет истинными:
- Для n = 4:
S = 180°(4 - 2) = 360°.
Утверждения: 1) истина, 2) ложь, 3) ложь, 4) ложь. (1 истина)
- Для n = 5:
S = 180°(5 - 2) = 540°.
Утверждения: 1) истина, 2) истина, 3) ложь, 4) ложь. (2 истины)
- Для n = 6:
S = 180°(6 - 2) = 720°.
Утверждения: 1) истина, 2) истина, 3) истина, 4) ложь. (3 истины)
- Для n = 7:
S = 180°(7 - 2) = 900°.
Утверждения: 1) истина, 2) истина, 3) истина, 4) истина. (4 истины)
- Для n = 8:
S = 180°(8 - 2) = 1080°.
Утверждения: 1) истина, 2) истина, 3) истина, 4) истина. (4 истины)
3. Условия задачи требуют, чтобы именно два утверждения были истинными, что выполняется только для n = 5.
ответ:
Число сторон выпуклого многоугольника равно 5.