дано:
пусть a и b — два числа.
по условию задачи известно, что отношение среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24. Это можно записать как:
(a + b)/2 / (sqrt(ab)) = 25/24.
найти:
отношение чисел a и b, то есть a/b.
решение:
1. Умножим обе стороны уравнения на 2 * sqrt(ab):
a + b = (25/24) * 2 * sqrt(ab).
2. Упростим:
a + b = (50/24) * sqrt(ab)
=> a + b = (25/12) * sqrt(ab).
3. Теперь выразим sqrt(ab) через a и b:
sqrt(ab) = sqrt(a*b).
4. Для удобства введем отношение k = a/b. Тогда a = kb.
Подставим a в уравнение:
kb + b = (25/12) * sqrt(kb * b)
=> b(k + 1) = (25/12) * sqrt(k) * b.
5. Отменим b (b ≠ 0):
k + 1 = (25/12) * sqrt(k).
6. Умножим обе стороны на 12:
12(k + 1) = 25*sqrt(k).
7. Раскроем скобки:
12k + 12 = 25*sqrt(k).
8. Переносим все в одну сторону:
25*sqrt(k) - 12k - 12 = 0.
9. Обозначим sqrt(k) = x, тогда k = x^2. Подставим это в уравнение:
25x - 12x^2 - 12 = 0.
10. Упорядочим уравнение:
-12x^2 + 25x - 12 = 0,
или
12x^2 - 25x + 12 = 0.
11. Решим это квадратное уравнение по формуле:
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a,
где a = 12, b = -25, c = 12.
12. Найдем дискриминант:
D = (-25)^2 - 4 * 12 * 12 = 625 - 576 = 49.
13. Найдем корни:
x1 = (25 + sqrt(49)) / (2 * 12) = (25 + 7) / 24 = 32 / 24 = 4/3.
x2 = (25 - sqrt(49)) / (2 * 12) = (25 - 7) / 24 = 18 / 24 = 3/4.
14. Теперь найдем отношение k = x^2:
k1 = (4/3)^2 = 16/9,
k2 = (3/4)^2 = 9/16.
ответ:
отношение чисел a и b может быть 16 : 9 или 9 : 16.