Дано:
16 кубов с длинами ребер 1, 2, …, 16.
Найти:
Разделение кубов на две группы, чтобы в обеих группах были равны:
Суммарные объемы
Суммы площадей боковых поверхностей
Суммы длин ребер
Количество кубов
Решение:
Сумма арифметической прогрессии:
Сумма n первых натуральных чисел равна n(n+1)/2.
Сумма квадратов n первых натуральных чисел равна n(n+1)(2n+1)/6.
Сумма кубов n первых натуральных чисел равна (n(n+1)/2)²
Рассмотрим сумму длин ребер:
Сумма длин ребер всех 16 кубов = 4 * (1 + 2 + … + 16) = 4 * 16 * 17 / 2 = 544
Для равного распределения по группам нужно разделить сумму длин ребер пополам: 544 / 2 = 272
Используем свойства арифметической прогрессии:
Найдем сумму длин ребер 8 кубов с наибольшими длинами ребер (с 9 по 16): 4 * (9 + 10 + … + 16) = 4 * 8 * 25 / 2 = 400.
Найдем сумму длин ребер 8 кубов с наименьшими длинами ребер (с 1 по 8): 544 - 400 = 144.
Видим, что 144 < 272 < 400, значит, в одну группу должны войти кубы с длинами ребер с 1 по 8, а в другую - с 9 по 16.
Проверка:
Сумма объемов:
(1³ + 2³ + … + 8³) = (8 * 9 / 2)² = 144²
(9³ + 10³ + … + 16³) = (8 * 17 / 2)² - 144²
Сумма площадей боковых поверхностей:
4 * (1² + 2² + … + 8²) = 4 * 8 * 9 * 17 / 6 = 816
4 * (9² + 10² + … + 16²) = 4 * 8 * 17 * 25 / 6 - 816
Сумма длин ребер:
144 (уже проверили)
400 (уже проверили)
Количество кубов: 8 в каждой группе.
Ответ:
Группа 1: Кубы с длинами ребер 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Группа 2: Кубы с длинами ребер 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
В обеих группах равны суммы объемов, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубов.