Дано:
- n прямых на плоскости.
- Каждая точка пересечения принадлежит ровно 2 прямым.
- На каждой из прямых лежит ровно 6 точек пересечения.
Найти:
а) Докажите, что таких прямых не меньше 7.
б) Приведите пример, удовлетворяющий условию задачи, с 8 прямыми.
Решение:
а)
1. Обозначим количество прямых как n.
2. Каждая прямая пересекает 6 других прямых (по условию). Таким образом, каждая прямая определяет 6 точек пересечения.
3. Поскольку каждая точка пересечения принадлежит ровно 2 прямым, общее количество точек пересечения будет равно:
T = (n * 6) / 2 = 3n.
4. Эти точки пересечения находятся между n прямыми, и каждая пара прямых даёт одну точку пересечения. Таким образом, количество точек пересечения также можно выразить как:
T = C(n, 2) = n * (n - 1) / 2.
5. Приравняем оба выражения для T:
3n = n * (n - 1) / 2.
6. Умножим обе стороны на 2:
6n = n * (n - 1).
7. Разделим обе стороны на n (при n > 0):
6 = n - 1.
8. Отсюда:
n = 7.
Таким образом, доказано, что n не меньше 7.
б) Пример с 8 прямыми:
1. Рассмотрим 8 прямых, каждая из которых пересекается с 6 другими прямыми.
2. Конструкция может быть следующей: расположим 8 прямых в виде звезды или радиальной схемы, где каждая прямая пересекается с двумя соседями и образует точки пересечения с 6 другими прямыми.
3. Каждая из 8 прямых будет пересекаться с другими, образуя 6 точек пересечения на каждой прямой, и при этом не создавая дополнительных точек.
Ответ:
а) Доказано, что таких прямых не меньше 7.
б) Пример с 8 прямыми: прямые могут быть расположены в радиальной схеме, где каждая прямая пересекает 6 других.