дано:
Параллельные прямые a и b пересекаются с прямой c в точках A и B соответственно.
найти:
Доказать, что найдется пара углов с вершинами в точках A и B, биссектрисы которых:
а) параллельны;
б) перпендикулярны.
решение:
а) Для доказательства параллельности биссектрис, рассмотрим углы, образуемые прямыми:
1. Угол α между прямой c и прямой a:
∠CAB = α.
2. Угол β между прямой c и прямой b:
∠ABC = β.
3. Так как прямые a и b параллельны, угол α и угол β являются соответственными углами, следовательно:
α = β.
4. Теперь рассматриваем биссектрисы углов ∠CAB и ∠ABC. Обозначим их как m и n соответственно.
5. Биссектрисы углов α и β делят эти углы пополам:
m = α/2,
n = β/2.
6. Поскольку α = β, получается:
m = n.
7. Это означает, что биссектрисы m и n параллельны.
б) Для доказательства перпендикулярности биссектрис, рассмотрим ситуацию, когда угол между прямыми a и b равен 180°:
1. Пусть угол между прямой c и прямой a равен θ:
∠CAB = θ.
2. Тогда угол между прямой c и прямой b будет равен:
∠ABC = 180° - θ.
3. Биссектрисы углов α и β будут:
m = θ/2,
n = (180° - θ)/2.
4. Теперь разложим угол n:
n = 90° - θ/2.
5. Таким образом, имеем:
m + n = θ/2 + (90° - θ/2) = 90°.
6. Это показывает, что биссектрисы m и n перпендикулярны, так как сумма их углов равна 90°.
ответ:
а) Биссектрисы углов ∠CAB и ∠ABC параллельны.
б) Биссектрисы углов ∠CAB и ∠ABC перпендикулярны.