дано:
- отрезки AB и CD пересекаются
- AC = CB
- BD = AD
найти:
а) доказать, что луч AB является биссектрисой угла CAD
б) доказать, что луч CD является биссектрисой угла ABC
в) доказать, что прямые CD и AB перпендикулярны
решение:
а)
1. Рассмотрим треугольники ACD и BCD.
2. Мы знаем, что AC = CB и AD = BD.
3. Это означает, что треугольники ACD и BCD имеют равные стороны:
- AC = CB (по условию)
- AD = BD (по условию)
- CD = CD (общая сторона)
4. Таким образом, по критерию равенства треугольников (сторона-сторона-сторона) получаем:
треугольник ACD ≅ треугольнику BCD.
5. Из равенства треугольников следует, что углы CAD и CBD равны.
6. Это означает, что луч AB является биссектрисой угла CAD.
Ответ: луч AB является биссектрисой угла CAD.
б)
1. Рассмотрим угол ABC.
2. Поскольку AC = CB, то мы имеем треугольники ACB, где:
- AC = BC (по условию)
- AB = AB (общая сторона)
- AB = AB (обозначим эту сторону)
3. По аналогии с предыдущим пунктом, мы можем утверждать, что углы CAB и CBA равны.
4. Поэтому луч CD является биссектрисой угла ABC.
Ответ: луч CD является биссектрисой угла ABC.
в)
1. Из предыдущих пунктов мы доказали, что углы CAD и CBD равны.
2. Также, поскольку лучи AB и CD являются биссектрисами соответственно, это указывает на то, что они образуют прямые углы.
3. Таким образом, проведя линии AB и CD, можно заключить, что они перпендикулярны друг другу.
Ответ: прямые CD и AB перпендикулярны.