дано:
Треугольник ABC с основанием AC.
а) Медиана BM является высотой.
б) Высота BH является биссектрисой.
Найти:
Доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.
Решение:
а) Если медиана BM является высотой, значит, она перпендикулярна основанию AC.
1. Поскольку BM — медиана, то M — середина отрезка AC. Таким образом, AM = MC.
2. В треугольнике ABM и треугольнике BCM:
- BM общая сторона,
- AM = MC (по определению медианы),
- угол BMA = угол BMC = 90° (так как BM является высотой).
По критерию равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольники ABM и BCM равны:
ABM ≅ BCM.
3. Следовательно, стороны AB и BC равны:
AB = BC.
Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.
Ответ для пункта а:
Треугольник ABC является равнобедренным.
б) Теперь, если высота BH является биссектрисой.
1. Если BH является высотой, значит, она перпендикулярна основанию AC.
2. Также, поскольку BH является биссектрисой, это означает, что углы при основании равны:
∠BAH = ∠CAH.
3. В треугольнике ABH и треугольнике CBH:
- BH общая сторона,
- угол BHA = угол CHA = 90° (поскольку BH высота),
- угол BAH = угол CAH (по определению биссектрисы).
4. По критерию равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольники ABH и CBH равны:
ABH ≅ CBH.
5. Следовательно, стороны AB и BC равны:
AB = BC.
Таким образом, треугольник ABC также является равнобедренным с основанием AC.
Ответ для пункта б:
Треугольник ABC является равнобедренным.