дано: треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, AM и CN — биссектрисы.
а) доказать, что BN = BM.
решение:
Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∠CAB = ∠CBA. Также известно, что AM и CN — биссектрисы, то есть они делят углы пополам.
1. Рассмотрим треугольники ABM и CBN. Поскольку AM и CN — биссектрисы, то:
- ∠BAM = ∠CAM,
- ∠ACN = ∠BCN.
2. Из симметрии треугольника ABC следует, что треугольники ABM и CBN равны по трем признакам (по углам и сторонам):
- AB = BC (так как треугольник равнобедренный),
- ∠BAM = ∠CAM и ∠ACN = ∠BCN,
- AM = CN (так как это биссектрисы равных углов).
3. Следовательно, по признаку равенства треугольников ABM и CBN, имеем:
BN = BM.
ответ для а): BN = BM.
б) дано: AB = 15, ∠ABC = 120°.
найти: медиану BE.
решение:
Для нахождения медианы BE в треугольнике ABC воспользуемся формулой медианы для треугольника, которая выражается через стороны треугольника:
BE² = (2AB² + 2BC² - AC²) / 4.
Для этого найдем длину стороны AC. Так как треугольник равнобедренный, то угол ∠ABC = 120°, а стороны AB и BC равны. Используем косинусное правило для нахождения стороны AC:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC),
AC² = 15² + 15² - 2 * 15 * 15 * cos(120°),
AC² = 225 + 225 - 2 * 15 * 15 * (-1/2),
AC² = 225 + 225 + 225,
AC² = 675,
AC = √675 = 15√3.
Теперь подставим найденное значение AC в формулу для медианы BE:
BE² = (2 * 15² + 2 * 15² - (15√3)²) / 4,
BE² = (2 * 225 + 2 * 225 - 675) / 4,
BE² = (450 + 450 - 675) / 4,
BE² = 225 / 4,
BE = √(225 / 4) = 7.5.
ответ для б): длина медианы BE равна 7.5.