дано:
Треугольник ABC, AB = BC, длина медианы BM = 6 м, площадь треугольника ABC = 48 м².
Найти:
Длину стороны AB.
Решение:
1. Обозначим длину стороны AB как a. Поскольку AB = BC, то BC также равна a.
2. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
Площадь = (основание * высота) / 2.
3. В данном случае, основанием будет сторона AC. Обозначим длину AC как b. Тогда:
48 = (b * h) / 2,
где h - высота, проведенная из точки B на сторону AC.
4. Упростим уравнение:
b * h = 96.
5. Также можем использовать формулу для площади через медиану. Площадь треугольника можно выразить через длину медианы BM и стороны:
Площадь = (2/3) * BM * m,
где m - длина стороны, против которой проведена медиана. В данном случае это сторона AC (обозначим ее как b), а BM = 6. Тогда:
48 = (2/3) * 6 * b.
6. Упростим уравнение:
48 = 4 * b.
7. Найдем b:
b = 48 / 4,
b = 12 м.
8. Теперь нужно найти сторону AB (или BC). Используем теорему о медиане. Для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами a и основанием b, длина медианы BM может быть найдена по формуле:
BM^2 = (2a^2 + 2a^2 - b^2) / 4.
9. Подставим известные значения:
6^2 = (2a^2 + 2a^2 - 12^2) / 4,
36 = (4a^2 - 144) / 4.
10. Умножим обе стороны на 4:
144 = 4a^2 - 144.
11. Переносим 144 в левую часть:
288 = 4a^2.
12. Разделим на 4:
72 = a^2.
13. Найдем a:
a = √72,
a = 6√2 м ≈ 8.49 м.
Ответ:
Длина стороны AB равна 6√2 м (примерно 8.49 м).