дано:
Треугольник ABC, AB = BC, медиана BM = 2 м, площадь треугольника ABC = 2√21 м².
Найти:
Длину стороны AB.
Решение:
1. Обозначим длину стороны AB как a. Поскольку AB = BC, то BC также равна a.
2. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
Площадь = (основание * высота) / 2.
3. В данном случае основанием будет сторона AC. Обозначим длину AC как b. Тогда площадь можно записать так:
2√21 = (b * h) / 2.
4. Умножим обе стороны на 2:
4√21 = b * h.
5. Также можем использовать формулу для площади треугольника через медиану. Площадь треугольника можно выразить через длину медианы BM и длины сторон:
Площадь = (2/3) * BM * m,
где m - длина стороны, против которой проведена медиана. В данном случае это сторона AC (обозначим ее как b), а BM = 2. Тогда:
2√21 = (2/3) * 2 * b.
6. Упростим уравнение:
2√21 = (4/3) * b.
7. Умножим обе стороны на 3:
6√21 = 4b.
8. Разделим на 4:
b = (6√21) / 4,
b = (3√21) / 2 м.
9. Теперь используем теорему о медиане для нахождения a. Длина медианы BM в равнобедренном треугольнике может быть найдена по формуле:
BM^2 = (2a^2 + 2a^2 - b^2) / 4.
10. Подставим известные значения:
2^2 = (2a^2 + 2a^2 - ((3√21)/2)^2) / 4,
4 = (4a^2 - (9 * 21) / 4) / 4.
11. Умножим обе стороны на 4:
16 = 4a^2 - (189 / 4).
12. Переносим (189 / 4) в левую часть:
16 + (189 / 4) = 4a^2.
13. Приведем к общему знаменателю:
(64 / 4) + (189 / 4) = 4a^2,
(253 / 4) = 4a^2.
14. Умножим обе стороны на 4:
253 = 16a^2.
15. Разделим на 16:
a^2 = 253 / 16.
16. Найдем a:
a = √(253 / 16),
a = √253 / 4.
Ответ:
Длина стороны AB равна √253 / 4 м.