дано:
Треугольник ABC — равносторонний. Биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P.
Найти:
Угол MPN.
Решение:
1. В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60 градусам. Обозначим угол ACB как угол C, угол CAB как угол A и угол ABC как угол B. То есть:
∠A = ∠B = ∠C = 60°.
2. Биссектрисы делят углы пополам. Следовательно:
∠AMC = ∠AMP = 30° (половина угла A),
∠CNA = ∠CNP = 30° (половина угла C).
3. Рассмотрим треугольник AMP. Углы треугольника всегда составляют 180 градусов:
∠AMP + ∠APM + ∠MPA = 180°.
4. Подставив известные значения:
30° + ∠APM + ∠MPN = 180°.
5. Теперь найдем угол APN. Он равен углу CPM, который также равен 30°. Таким образом:
∠APM = ∠MPN.
6. Подставляем это значение в уравнение:
30° + 2 * ∠MPN = 180°.
7. Выразим угол MPN:
2 * ∠MPN = 180° - 30°,
2 * ∠MPN = 150°,
8. Разделим обе стороны на 2:
∠MPN = 75°.
Ответ:
Угол MPN равен 75°.