дано:
Четырехугольник ABCD, где стороны AB и CD равны (AB = CD), диагонали AC и BD равны (AC = BD) и пересекаются в точке O.
Найти:
а) Доказать, что AО = DO.
б) Доказать, что ∠OAD = ∠ODA.
Решение:
а)
1. В силу того, что диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O, можно записать:
AO + OD = AC,
BO + OC = BD.
2. Из условия задачи следует, что:
AB = CD и AC = BD.
3. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них:
- AB = CD (по условию),
- AO = OD (нужно доказать),
- BO = OC (так как AC = BD).
4. Так как у нас есть две пары равных сторон и общая сторона (AO = OD), то по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними:
Треугольники AOB и COD равны (по критерию SSS).
5. Следовательно, из равенства треугольников:
AO = DO.
б)
1. По равенству треугольников AOB и COD уже имеем:
∠AOB = ∠COD.
2. Поскольку OA = OD и AB = CD, то также:
∠OAD = ∠ODA (углы при базе равнобедренного треугольника равны).
Ответ:
а) AО = DO.
б) ∠OAD = ∠ODA.