дано:
- Треугольник ABC, равнобедренный (AB = AC).
- На стороне AC выбраны точки D и E так, что угол ADB равен углу BEC: ∠ADB = ∠BEC.
Найти:
Доказать, что отрезки AD и EC равны: AD = EC.
Решение:
1. Обозначим:
- AB = AC = a (так как треугольник равнобедренный),
- AD = x,
- EC = y.
2. Рассмотрим треугольники ADB и CEB.
3. В этих треугольниках мы имеем:
- Угол ADB = Угол BEC (по условию),
- Сторона AB = Сторона AC (по свойству равнобедренного треугольника),
- Стороны AD и EC нам нужно сравнить.
4. Для доказательства воспользуемся теоремой о равенстве треугольников (по двум углам и стороне между ними, ASA):
- Углы ABD и ACB равны (так как это углы при основании равнобедренного треугольника), то есть:
∠ABD = ∠ACB.
5. Таким образом, в треугольниках ADB и CEB у нас есть следующие равенства:
- ∠ADB = ∠BEC,
- ∠ABD = ∠ACB,
- Сторона AB = Сторона CE.
6. Следовательно, по признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними, ASA) можно заключить, что треугольники ADB и CEB равны:
∆ADB = ∆CEB.
7. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны:
AD = EC.
Ответ:
AD = EC.