дано:
- Треугольники ABC и ABC1 равнобедренные с общим основанием AB.
- Точка C1 лежит внутри треугольника ABC.
Найти:
а) Доказать, что точка C1 принадлежит одной из медиан треугольника ABC.
б) Доказать, что точка C1 принадлежит одной из биссектрис треугольника ABC.
Решение:
а)
1. Поскольку треугольники ABC и ABC1 равнобедренные, то:
- AC = BC (по определению равнобедренного треугольника ABC).
- AC1 = BC1 (по определению равнобедренного треугольника ABC1).
2. Рассмотрим медиану AM, проведенную из вершины A к середине основания BC.
3. Так как C1 находится внутри треугольника ABC, то по свойству равнобедренного треугольника, C1 должно находиться на отрезке AM или выше него.
4. Поскольку AC = BC, точки C1, B и C будут симметричны относительно медианы AM. Следовательно, C1 будет находиться на медиане AM.
Таким образом, точка C1 принадлежит одной из медиан треугольника ABC.
б)
1. Аналогично, поскольку треугольники ABC и ABC1 равнобедренные, углы при основании равны:
- ∠CAB = ∠CBA и ∠C1AB = ∠C1A1B.
2. Рассмотрим биссектрису AD, проведенную из угла A и делящую его на два равных угла.
3. Так как C1 находится внутри треугольника, то она должна находиться на биссектрисе AD, чтобы сохранять равенство углов ∠C1AB и ∠C1AC.
Таким образом, точка C1 принадлежит одной из биссектрис треугольника ABC.
Ответ:
а) Точка C1 принадлежит одной из медиан треугольника ABC.
б) Точка C1 принадлежит одной из биссектрис треугольника ABC.