дано:
- Отрезок AB с концами A и B.
- Серединный перпендикуляр к отрезку AB.
найти:
Доказать, что каждая точка X, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку AB, одинаково удалена от его концов — точек A и B (AX = BX).
решение:
1. Обозначим середину отрезка AB как M. Тогда точки A и B находятся на расстоянии d от точки M:
AM = MB.
2. Поскольку M является серединой отрезка AB, то длина отрезка AB равна 2 * AM, т.е. AB = 2d.
3. Определим координаты точек:
- Пусть A имеет координаты (x1, y1).
- Пусть B имеет координаты (x2, y2).
4. Координаты середины M можно найти следующим образом:
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
5. Серединный перпендикуляр к отрезку AB будет проходить через точку M и будет перпендикулярен отрезку AB.
6. Рассмотрим произвольную точку X, лежащую на серединном перпендикуляре. Это означает, что угол AMX равен углу BMX, и векторы AX и BX образуют прямые углы с вектором AB.
7. По определению серединного перпендикуляра, для любой точки X на нем верно, что расстояние от X до A равно расстоянию от X до B.
8. Таким образом, используя формулу расстояния между двумя точками:
AX = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2),
BX = sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2).
9. Чтобы доказать, что AX = BX, покажем, что квадраты этих расстояний равны:
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2.
10. Раскроем обе стороны уравнения и упрощаем:
x^2 - 2xx1 + x1^2 + y^2 - 2yy1 + y1^2 = x^2 - 2xx2 + x2^2 + y^2 - 2yy2 + y2^2.
11. Сократив одинаковые члены, получаем:
-2xx1 + x1^2 - 2yy1 + y1^2 = -2xx2 + x2^2 - 2yy2 + y2^2.
12. Переписываем это уравнение в виде:
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2.
13. Так как M является серединой и следовательно, (x1 + x2)/2 и (y1 + y2)/2 совпадут с координатами M, получаем, что разность приводится к нулю.
ответ:
Каждая точка X, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку AB, одинаково удалена от концов A и B: AX = BX.