Дано:
Пусть A(x1, y1) и B(x2, y2) – две точки на плоскости. Пусть C(x, y) – точка, равноудаленная от A и B.
Найти:
Показать, что точка C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Решение:
1. Условие равенства расстояний от точки C до точек A и B можно записать как:
|CA| = |CB|
где |CA| = √((x - x1)² + (y - y1)²) и |CB| = √((x - x2)² + (y - y2)²).
2. Подставим значения расстояний в уравнение:
√((x - x1)² + (y - y1)²) = √((x - x2)² + (y - y2)²)
3. Квадратируем обе стороны уравнения:
(x - x1)² + (y - y1)² = (x - x2)² + (y - y2)²
4. Раскроем скобки:
(x² - 2xx1 + x1² + y² - 2yy1 + y1²) = (x² - 2xx2 + x2² + y² - 2yy2 + y2²)
5. Упрощаем уравнение, убирая одинаковые члены:
-2xx1 - 2yy1 + x1² + y1² = -2xx2 - 2yy2 + x2² + y2²
6. Переносим все члены в одну сторону:
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) + (x1² + y1² - x2² - y2²) = 0
7. Сделаем так, чтобы выражение выглядело более явно:
x(x2 - x1) + y(y2 - y1) = (x2² + y2² - x1² - y1²) / 2
8. Обозначим точку M как середину отрезка AB:
mx = (x1 + x2) / 2
my = (y1 + y2) / 2
9. Вектор AB будет равен:
dx = x2 - x1
dy = y2 - y1
10. Серединный перпендикуляр к отрезку AB проходит через точку M и перпендикулярен вектору AB, то есть его уравнение имеет вид:
dx * (x - mx) + dy * (y - my) = 0
11. Теперь подставим в это уравнение координаты точки C:
dx * (x - (x1 + x2)/2) + dy * (y - (y1 + y2)/2) = 0
12. Это уравнение означает, что точка C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Ответ:
Точка C, равноудаленная от точек A и B, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.