дано:
Четырехугольник ABCD, в котором выполняются условия: ∠A = ∠D и ∠B = ∠C. Также известно, что никакие две стороны не параллельны.
найти:
Докажите, что AB = CD.
решение:
1. Рассмотрим четырехугольник ABCD с вершинами A, B, C и D. Запишем углы:
∠A = α, ∠B = β, ∠C = β, ∠D = α.
2. В четырехугольнике сумма углов равна 360 градусов:
α + β + β + α = 360 градусов.
Это можно упростить до:
2α + 2β = 360 градусов,
что дает:
α + β = 180 градусов.
3. Теперь мы можем рассмотреть треугольники ABD и CDB, которые имеют общую сторону BD.
4. В треугольнике ABD угол ∠ABD равен β, а угол ∠A равен α, значит:
∠ADB = 180 градусов - (∠A + ∠ABD) = 180 градусов - (α + β) = 180 градусов - 180 градусов = 0 градусов.
Угол ∠ADB = 0 градусов означает, что точки A, B и D лежат на одной прямой.
5. Аналогично, в треугольнике CDB угол ∠CDB равен β, а угол ∠D равен α, поэтому:
∠BDC = 180 градусов - (∠D + ∠C) = 180 градусов - (α + β) = 180 градусов - 180 градусов = 0 градусов.
Угол ∠BDC = 0 градусов также показывает, что точки C, D и B лежат на одной прямой.
6. Поскольку угол ADB и угол BDC равны нулю, это означает, что отрезки AB и CD являются противоположными сторонами параллелограмма, следовательно, они равны:
AB = CD.
ответ:
Таким образом, мы доказали, что AB = CD.