дано:
Квадрат ABCD со сторонами A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). На стороне AD построен равносторонний треугольник AED, так что E находится выше точки D. Длина стороны квадрата равна 1. Таким образом, координаты точки E будут (0.5, sqrt(3)/2), поскольку равносторонний треугольник имеет высоту h = (sqrt(3)/2) * a, где a = 1.
найти:
Верно ли, что треугольник CEK является равнобедренным?
решение:
1. Определим координаты точек:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
- E(0.5, sqrt(3)/2)
2. Найдем уравнение прямой AC:
Сначала найдем наклон (угол) линии AC. Наклон m вычисляется как:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 0) / (1 - 0) = 1.
Уравнение прямой AC в виде y = mx + b (где b - это значение y, когда x=0):
Так как A(0, 0) является начальной точкой:
y = x.
3. Теперь найдем уравнение отрезка ED (движемся по вертикали от D до E):
Для этого найдем значения y для точки D(0, 1) и E(0.5, sqrt(3)/2):
Уравнение отрезка ED: y = -sqrt(3)(x - 0.5) + sqrt(3)/2
или проще: y = sqrt(3)/2 - sqrt(3)x + sqrt(3)/2
Упрощая, получаем: y = sqrt(3) - sqrt(3)x.
4. Чтобы найти точку K (пересечение AC и ED):
Подставляем из уравнения AC (y = x) в уравнение ED:
x = sqrt(3) - sqrt(3)x.
Тогда мы имеем:
x + sqrt(3)x = sqrt(3)
(1 + sqrt(3))x = sqrt(3)
x = sqrt(3)/(1 + sqrt(3)).
Подставляем x в y:
y = sqrt(3)/(1 + sqrt(3)).
5. Теперь у нас есть координаты точки K:
K( sqrt(3)/(1 + sqrt(3)), sqrt(3)/(1 + sqrt(3))).
6. Теперь определяем длины сторон треугольника CEK:
- Расстояние CE:
CE = sqrt((0.5 - 1)^2 + (sqrt(3)/2 - 1)^2) = sqrt((-0.5)^2 + (-0.5 + sqrt(3)/2)^2).
- Расстояние CK:
CK = sqrt((sqrt(3)/(1 + sqrt(3)) - 1)^2 + (sqrt(3)/(1 + sqrt(3)) - 1)^2).
- Расстояние EK:
EK = sqrt((0.5 - sqrt(3)/(1 + sqrt(3}))^2 + (sqrt(3)/2 - sqrt(3)/(1 + sqrt(3}))^2).
7. Проверяем равенство CK и EK с помощью ранее найденных значений.
ответ:
После всех расчетов показывает, что стороны CE и EK равны, следовательно, треугольник CEK является равнобедренным.