дано:
- Треугольник ABC
- M — середина стороны AC
- Периметры треугольников ABM и BCM равны: P(ABM) = P(BCM)
найти: доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
решение:
1. Запишем периметры треугольников ABM и BCM:
P(ABM) = AB + AM + BM
P(BCM) = BC + CM + BM
2. Условие задачи дает нам следующее уравнение:
AB + AM + BM = BC + CM + BM
3. Упростим уравнение, убрав BM с обеих сторон:
AB + AM = BC + CM
4. Поскольку M является серединой отрезка AC, то CM = AM. Подставляем это в уравнение:
AB + AM = BC + AM
5. Упростим уравнение, убрав AM с обеих сторон:
AB = BC
6. Мы получили, что стороны AB и BC равны, что означает, что треугольник ABC является равнобедренным (по определению равнобедренного треугольника).
ответ: треугольник ABC равнобедренный.