дано:
- Треугольник ABC
- AD = AB (точка D на продолжении AC за A)
- Прямая через A, параллельная BD, пересекает BC в точке M.
найти: доказать, что AM — биссектриса треугольника ABC.
решение:
1. Из условия задачи известно, что AD = AB. Обозначим:
AB = c,
AC = b,
BC = a.
2. Поскольку прямая AM параллельна BD, то по свойству пропорциональности отрезков получаем:
AB / AC = AM / MB,
где MB — часть стороны BC.
3. Теперь рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC.
У нас есть:
- AB = AD (по условию),
- угол BAD = угол CAD (так как AM параллельно BD).
4. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними треугольник ABD подобен треугольнику ACD, что позволяет записать пропорциональные отношения:
AB / AC = AD / AM.
5. Подставляем значение AB и AD:
c / b = c / AM.
6. Так как AD = AB, мы имеем:
c / b = c / (MB + AM).
7. Упрощая, получаем:
AM / MB = c / b.
8. Это означает, что AM делит сторону BC в том же отношении, что и стороны AB и AC.
9. Таким образом, согласно определению, AM является биссектрисой угла A треугольника ABC.
ответ: AM — биссектриса треугольника ABC.