дано:
- треугольник ABC.
- высоты из вершин B и C пересекаются в точке H.
- ВН = СН.
найти: доказательство того, что треугольник ABC является равнобедренным.
решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC, где H - точка пересечения высот из вершин B и C.
2. По определению высоты, BH перпендикулярна AC, а CH перпендикулярна AB.
3. Из условия задачи известно, что ВН = СН, то есть отрезки высот, проведенные из B и C к основанию AC, равны.
4. В этом случае треугольники BNH и CNH можно рассмотреть как прямоугольные (так как высоты образуют прямые углы с основаниями):
- угол BNH = 90 градусов,
- угол CNH = 90 градусов.
5. В этих треугольниках:
- BN = CN (по условию),
- NH = NH (общая сторона).
6. Применяя теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), можно сказать, что:
треугольник BNH равен треугольнику CNH.
7. Следовательно, углы BAH и CAH равны, так как они противолежащие углы равных треугольников.
8. Это приводит к тому, что:
угол ABC = угол ACB, что и доказывает, что стороны AB и AC равны.
9. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, так как две его стороны равны.
ответ:
треугольник ABC является равнобедренным.