Дано:
- Один из углов прямоугольного треугольника α = 60°
- Сумма гипотенузы (c) и меньшего катета (a) равна 24: c + a = 24
Найти:
- Гипотенузу (c)
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике с углом 60° применяем соотношения для катетов и гипотенузы:
- Противолежащий катет (a) = c * sin(α) = c * sin(60°) = c * (√3/2)
- Прилежащий катет (b) = c * cos(α) = c * cos(60°) = c * (1/2)
2. Мы знаем, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 24:
c + a = 24
Подставим значение a:
c + c * (√3/2) = 24
3. Объединим подобные члены:
c(1 + √3/2) = 24
4. Найдем c:
c = 24 / (1 + √3/2)
5. Упростим выражение:
c = 24 / ((2 + √3)/2)
c = 24 * (2/(2 + √3))
c = 48 / (2 + √3)
6. Для удобства, умножим числитель и знаменатель на (2 - √3):
c = (48 * (2 - √3)) / ((2 + √3) * (2 - √3))
c = (48 * (2 - √3)) / (4 - 3)
c = 48 * (2 - √3)
7. Теперь вычислим значение гипотенузы:
c ≈ 48 * (2 - 1.732)
c ≈ 48 * 0.268
c ≈ 12.864
Ответ:
Гипотенуза треугольника приблизительно равна 12.864.