Дано:
- Острые углы прямоугольного треугольника: 75° и 15°,
- Высота, проведённая к гипотенузе (h) = 13 м.
Найти:
- Длину медианы, проведённой к гипотенузе (m).
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 75°, угол B = 15°.
2. По свойству прямоугольного треугольника, высота h делит гипотенузу AB на два отрезка: AM и MB. Используем формулу для высоты в прямоугольном треугольнике:
h = AC * sin(B) = BC * sin(A).
3. Рассмотрим длины катетов. Обозначим гипотенузу AB = c, катет AC = a, и катет BC = b. Известно, что:
h = (a * b) / c.
4. Также существует соотношение между медианой, высотой и гипотенузой. Медиана m, проведенная к гипотенузе, может быть найдена по формуле:
m = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
5. Выразим гипотенузу c через высоту h. Из уравнения h = (a * b) / c можно выразить c:
c = (a * b) / h.
6. По теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2.
7. Для получения значений a и b используем соотношения с углами:
a = h / sin(B) = 13 / sin(15°),
b = h / sin(A) = 13 / sin(75°).
8. Найдем синусы:
sin(15°) ≈ 0.2588,
sin(75°) ≈ 0.9659.
9. Подставим значения:
a ≈ 13 / 0.2588 ≈ 50.23,
b ≈ 13 / 0.9659 ≈ 13.46.
10. Теперь найдем c:
c^2 = a^2 + b^2 ≈ (50.23)^2 + (13.46)^2 ≈ 2523.526 + 181.6516 ≈ 2705.1776,
c ≈ √2705.1776 ≈ 52.00 м.
11. Теперь подставим a, b и c в формулу медианы:
m = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - c^2)
= (1/2) * √(2*(50.23^2) + 2*(13.46^2) - (52.00^2))
= (1/2) * √(2523.526 + 181.6516 - 2704.00)
= (1/2) * √{0.1781} ≈ (1/2) * 0.422 ≈ 0.211 м.
Ответ:
Длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна 0.211 м.