дано:
- AB = 1 м
- BC = 2 м
- угол BAC = 90°
найти:
длину отрезков BL и BG, а также выяснить, какой из них длиннее.
решение:
1. Определим координаты точек треугольника ABC. Пусть:
A(0, 0), B(0, 1), C(2, 0).
2. Найдем координаты точки L, где биссектрисы угла ABC пересекает сторону AC. Для этого найдем угол ABC.
Угол ABC равен 90° - угол ACB. Мы можем найти угол ACB с помощью тангенса:
tan(ACB) = AB / BC = 1 / 2.
3. Используя теорему о биссектрисе, мы знаем, что если D – точка на стороне AC, то:
AB/BC = AD/DC,
где D – точка пересечения биссектрисы с AC.
4. Рассмотрим длины отрезков:
AD = x, DC = y. Тогда:
1/2 = x/y ⇒ x = (1/2)y.
5. Зная, что AD + DC = AC, где AC = √(AB² + BC²) = √(1² + 2²) = √5, получаем:
x + y = √5.
Подставим x = (1/2)y:
(1/2)y + y = √5,
(3/2)y = √5,
y = (2√5)/3.
6. Теперь найдём x:
x = (1/2)y = (1/2) * (2√5)/3 = √5/3.
7. Таким образом, точка L делит сторону AC на два отрезка:
AL = √5/3 и LC = 2√5/3.
8. Теперь найдем координаты точки L:
Поскольку A(0, 0) и C(2, 0), такая точка может быть найдена по пропорциям:
L(x_L, y_L) = (x_A + (x_C - x_A) * (AL / AC), y_A + (y_C - y_A) * (AL / AC)).
Так как y_A и y_C равны 0, то:
x_L = 0 + (2 - 0) * (√5/3)/(√5) = 2/3,
y_L = 0.
Следовательно, L(2/3, 0).
9. Теперь найдем координаты точки G — центра тяжести (медиана):
G((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3).
Подставим значения:
G = ((0 + 0 + 2)/3, (0 + 1 + 0)/3) = (2/3, 1/3).
10. Теперь находим расстояния BL и BG.
Для нахождения расстояния используем формулу:
d = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²).
11. Расстояние BL:
BL = √((2/3 - 0)² + (0 - 1)²) = √((2/3)² + (-1)²)
= √(4/9 + 1) = √(4/9 + 9/9)
= √(13/9) = √13 / 3.
12. Расстояние BG:
BG = √((2/3 - 0)² + (1/3 - 1)²) = √((2/3)² + (-2/3)²)
= √(4/9 + 4/9) = √(8/9) = 2√2 / 3.
13. Сравниваем длины отрезков BL и BG:
BL = √13 / 3 ≈ 1.21,
BG = 2√2 / 3 ≈ 0.94.
ответ:
отрезок BL длиннее отрезка BG.