дано:
- Треугольник ABC - прямоугольный равнобедренный (угол C = 90°, AC = BC).
- K - середина гипотенузы AB.
- Tочки L и M таковы, что BL = CM.
найти:
Доказать, что треугольник LMK является прямоугольным равнобедренным.
решение:
1. Обозначим длины катетов: AC = a и BC = a, так как треугольник равнобедренный. Гипотенуза AB будет равна a * sqrt(2) по теореме Пифагора.
2. Так как K - середина гипотенузы AB, то отрезки AK и KB равны и составляют (a * sqrt(2))/2.
3. Найдем координаты точек для удобства. Предположим, что A(0, a), B(a, a) и C(0, 0). Тогда:
K = ((0 + a)/2, (a + 0)/2) = (a/2, a/2).
4. Теперь найдем координаты точек L и M.
Пусть координаты точки L на катете BC будут L(a, y_L) и координаты точки M на катете AC будут M(x_M, a).
5. Из условия задачи имеем:
BL = CM, то есть расстояние от B до L равно расстоянию от C до M.
Расстояние BL = y_L и расстояние CM = a - x_M.
Получаем уравнение:
y_L = a - x_M. (1)
6. Теперь найдем координаты точек L и M, используя условие о равенстве отрезков.
7. Поскольку K - середина отрезка AB и KM перпендикулярна AB, K имеет координаты (a/2, a/2).
8. Чтобы показать, что треугольник LMK равнобедренный, необходимо доказать, что длины LM и LK равны.
9. Найдем длину отрезка LM:
LM = sqrt((x_M - a)^2 + (y_L - a)^2).
10. Найдем длину отрезка LK:
LK = sqrt((x_M - a/2)^2 + (y_L - a/2)^2).
11. Подставим значение y_L из уравнения (1):
LK = sqrt((x_M - a/2)^2 + ((a - x_M) - a/2)^2).
12. Упростим это выражение:
LK = sqrt((x_M - a/2)^2 + (a/2 - x_M)^2).
LK = sqrt((x_M - a/2)^2 + (x_M - a/2)^2) = sqrt(2(x_M - a/2)^2).
13. Таким образом, получаем:
LK = sqrt(2) * (x_M - a/2).
14. Теперь вернемся к длине LM, подставив y_L из (1):
LM = sqrt((x_M - a)^2 + (a - x_M - a)^2).
LM = sqrt((x_M - a)^2 + (-x_M)^2) = sqrt((x_M - a)^2 + x_M^2).
15. Далее упрощаем:
LM = sqrt(2x_M^2 - 2ax_M + a^2) = sqrt(2) * |x_M - a/2|.
16. Поскольку LK = LM, мы можем заключить, что треугольник LMK равнобедренный.
17. Теперь нам осталось показать, что угол LKM – прямой. Векторы KL и KM должны быть перпендикулярны.
18. Проверяем скалярное произведение векторов KL и KM:
KL = (x_M - a/2, y_L - a/2),
KM = (x_M - a/2, (a - x_M) - a/2).
19. Скалярное произведение KL и KM равно:
(x_M - a/2)(x_M - a/2) + (y_L - a/2)((a - x_M) - a/2).
20. Если это произведение равно нулю, то угол LKM равен 90°.
ответ:
Треугольник LMK является прямоугольным равнобедренным.