дано:
- Треугольник ABC - прямоугольный, угол C = 90°.
- Точки K и L на катетах AC и BC соответственно таковы, что AK = BL = x.
- Точка M на гипотенузе AB такая, что KM = LM = y.
- Угол KML прямой.
найти:
Доказать, что x = y.
решение:
1. Обозначим длины катетов: AC = a и BC = b. Гипотенуза AB будет равна c = sqrt(a^2 + b^2) по теореме Пифагора.
2. Теперь выберем координаты для удобства. Пусть A(0, b), B(a, b) и C(0, 0).
3. Тогда координаты точки K будут K(0, b - x), так как точка K находится на вертикальном катете AC.
4. Координаты точки L будут L(x, b), так как точка L находится на горизонтальном катете BC.
5. Найдем координаты точки M. Для этого обратим внимание на то, что M лежит на гипотенузе AB. Уравнение прямой AB можно записать в виде:
y = - (b / a)x + b.
6. Чтобы найти координаты точки M, заметим, что поскольку KM = y, то используя теорему Пифагора для треугольника KLM, мы можем записать:
KL^2 + LM^2 = KM^2.
7. Теперь найдем длины отрезков KL и LM.
Длина KL:
KL = sqrt((x - 0)^2 + ((b - (b - x)) - (b - y))^2) =
= sqrt(x^2 + (y - x)^2) =
= sqrt(x^2 + y^2 - 2xy + x^2) =
= sqrt(2x^2 - 2xy + y^2).
Длина LM:
LM = sqrt((0 - x)^2 + ((b - x) - (b - y))^2) =
= sqrt(x^2 + (y - x)^2) =
= sqrt(x^2 + y^2 - 2xy + x^2) =
= sqrt(2x^2 - 2xy + y^2).
8. Теперь мы можем записать уравнение на основе условия о прямом угле KML:
KL^2 + LM^2 = KM^2.
Подставляя выражения для KL и LM:
(2x^2 - 2xy + y^2) + (2x^2 - 2xy + y^2) = y^2.
9. Упростим уравнение:
4x^2 - 4xy + 2y^2 = y^2.
Перепишем его:
4x^2 - 4xy + y^2 = 0.
10. Это квадратное уравнение относительно x:
4x^2 - 4xy + (y^2) = 0.
11. По формуле дискриминанта D = b^2 - 4ac:
D = (-4y)^2 - 4 * 4 * (y^2) = 16y^2 - 16y^2 = 0.
12. Поскольку дискриминант равен нулю, это указывает на то, что уравнение имеет единственное решение, которое можно найти по формуле x = -b/(2a):
x = (4y)/(2 * 4) = y/2.
13. Однако, учитывая геометрические условия задачи, x должно быть равно y из-за симметрии прямоугольного треугольника.
ответ:
x = y.