Дано:
Прямоугольный треугольник ABC,
катет AC = 3 м,
высота CH = 2.4 м.
Найти:
sin∠ABC.
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC мы можем использовать формулу для площади S треугольника:
S = (1/2) * основание * высота.
В нашем случае основанием будет катет AB, а высотой – CH. Площадь также можно выразить через катеты AC и BC:
S = (1/2) * AC * BC.
Таким образом, у нас есть две формулы для площади:
(1/2) * AB * CH = (1/2) * AC * BC.
Теперь выразим AB через CH и высоту:
AB = 2 * S / CH.
Сначала найдем площадь S с помощью одного из катетов. Нам нужно найти длину катета BC. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2.
Подставим известные значения:
AB^2 = 3^2 + BC^2,
AB^2 = 9 + BC^2.
Также известно, что высота CH, опущенная на гипотенузу AB, может быть найдена по формуле:
CH = (AC * BC) / AB.
Подставив в эту формулу известные значения, получаем:
2.4 = (3 * BC) / AB.
Теперь подставим выражение для AB из предыдущего уравнения:
2.4 = (3 * BC) / √(9 + BC^2).
Умножим обе стороны на √(9 + BC^2):
2.4 * √(9 + BC^2) = 3 * BC.
Квадратируем обе стороны:
(2.4)^2 * (9 + BC^2) = (3 * BC)^2.
Подставляя известные значения, получаем:
5.76 * (9 + BC^2) = 9 * BC^2.
Раскроем скобки:
51.84 + 5.76 * BC^2 = 9 * BC^2.
Переносим все в одну сторону:
9 * BC^2 - 5.76 * BC^2 - 51.84 = 0.
Объединим подобные:
3.24 * BC^2 - 51.84 = 0.
Теперь найдем значение BC^2:
3.24 * BC^2 = 51.84,
BC^2 = 51.84 / 3.24,
BC^2 = 16.
Следовательно, BC = √16 = 4.
Теперь можем найти AB:
AB^2 = 9 + 16 = 25,
AB = √25 = 5.
Теперь вычислим sin∠ABC:
sin∠ABC = противолежащий катет / гипотенуза = AC / AB = 3 / 5.
Ответ:
sin∠ABC = 3/5.