Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой, AB — гипотенуза, AC и BC — катеты. Пусть M и N — середины катетов AC и BC соответственно.
Найти:
Показать, что медиана CM равна отрезку MN.
Решение:
1. Обозначим длины катетов:
AC = a,
BC = b.
2. Найдем координаты точек:
- Пусть точка C имеет координаты (0, 0).
- Точка A имеет координаты (a, 0).
- Точка B имеет координаты (0, b).
3. Середины катетов:
- Координаты точки M (середина AC):
M = ((0 + a) / 2, (0 + 0) / 2) = (a / 2, 0).
- Координаты точки N (середина BC):
N = ((0 + 0) / 2, (0 + b) / 2) = (0, b / 2).
4. Теперь найдем длину отрезка MN:
MN = sqrt((a/2 - 0)² + (0 - b/2)²)
= sqrt((a/2)² + (-b/2)²)
= sqrt(a²/4 + b²/4)
= sqrt((a² + b²) / 4)
= (1/2) * sqrt(a² + b²).
5. По теореме Пифагора, гипотенуза AB равна:
AB = sqrt(a² + b²).
6. Медиана CM от вершины прямого угла C до гипотенузы AB равна:
CM = (1/2) * AB
= (1/2) * sqrt(a² + b²).
7. Таким образом, мы имеем:
MN = (1/2) * sqrt(a² + b²) = CM.
Ответ:
Медиана CM равна отрезку MN, соединяющему середины катетов.