Дано:
Прямой угол в треугольнике. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол в отношении 2:1. Длина медианы равна 8.
Найти:
Стороны и углы прямоугольного треугольника.
Решение:
1. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, где A — вершина прямого угла, а B и C — другие вершины. Медиана AM из вершины A делит прямой угол на два угла в отношении 2:1. Длина медианы AM = 8.
2. Пусть AB = c, AC = b, а гипотенуза BC = a.
3. Медиана AM из вершины прямого угла делит прямой угол на два угла в отношении 2:1. Поскольку угол A прямой, то угол между медианой и одной из сторон составляет 2/3 угла прямого угла, а угол между медианой и другой стороной — 1/3 угла. Угол AAM равен 30° и угол CAM равен 60°.
4. Медиана, проведенная из прямого угла, делит гипотенузу BC пополам. Следовательно, AM делит BC на два равных отрезка. Таким образом, BC = 2 * AM = 2 * 8 = 16.
5. Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ABC. В треугольнике ABC, где угол A прямой, выполняется:
a² = b² + c²
6. Известно, что BC = 16. Следовательно, a = 16.
7. Теперь вернемся к отношениям сторон. Медиана AM делит угол A в отношении 2:1. Таким образом, стороны AB и AC должны находиться в отношении 2:1.
Пусть AB = 2x, а AC = x. Тогда по теореме Пифагора:
(2x)² + x² = 16²
4x² + x² = 256
5x² = 256
x² = 256 / 5
x² = 51.2
x ≈ √51.2 ≈ 7.16
AB = 2x ≈ 2 * 7.16 ≈ 14.32
8. Таким образом, стороны треугольника следующие:
AB ≈ 14.32
AC ≈ 7.16
BC = 16
9. Углы треугольника можно найти, зная, что угол A прямой, и используя тригонометрию. Например, для угла B:
sinB = AC / BC = 7.16 / 16 ≈ 0.4475
B ≈ arcsin(0.4475) ≈ 26.57°
Угол C будет равен 90° - 26.57° ≈ 63.43°.
Ответ:
Стороны: AB ≈ 14.32, AC ≈ 7.16, BC = 16.
Углы: угол A = 90°, угол B ≈ 26.57°, угол C ≈ 63.43°.