Дано:
- Выпуклый четырёхугольник ABCD.
- M и N – середины сторон AB и CD соответственно.
- P и Q – середины сторон BC и DA соответственно.
Найти:
- Доказать, что отрезки MN и PQ пересекаются в точке E, которая делит их пополам.
Решение:
1. Рассмотрим координаты вершин четырёхугольника:
- Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).
2. Найдём координаты середин отрезков:
- Координаты точки M (середина AB):
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- Координаты точки N (середина CD):
N = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
- Координаты точки P (середина BC):
P = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
- Координаты точки Q (середина DA):
Q = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2)
3. Теперь найдём уравнения прямых, соединяющих эти точки.
- Уравнение прямой MN можно записать в параметрическом виде:
T1(t) = M + t(N - M) = M + t(((x3 + x4)/2 - (x1 + x2)/2), ((y3 + y4)/2 - (y1 + y2)/2)), где t изменяется от 0 до 1.
- Уравнение прямой PQ также в параметрическом виде:
T2(s) = P + s(Q - P) = P + s(((x4 + x1)/2 - (x2 + x3)/2), ((y4 + y1)/2 - (y2 + y3)/2)), где s изменяется от 0 до 1.
4. Подставляем координаты M, N, P и Q в уравнения:
- T1(t) = ((x1 + x2)/2 + t((x3 + x4 - x1 - x2)/2), (y1 + y2)/2 + t((y3 + y4 - y1 - y2)/2))
- T2(s) = ((x2 + x3)/2 + s((x4 + x1 - x2 - x3)/2), (y2 + y3)/2 + s((y4 + y1 - y2 - y3)/2))
5. Чтобы найти точку пересечения E, приравняем T1(t) к T2(s):
- ((x1 + x2)/2 + t((x3 + x4 - x1 - x2)/2), (y1 + y2)/2 + t((y3 + y4 - y1 - y2)/2)) = ((x2 + x3)/2 + s((x4 + x1 - x2 - x3)/2), (y2 + y3)/2 + s((y4 + y1 - y2 - y3)/2))
6. Составляем систему уравнений:
- (x1 + x2)/2 + t((x3 + x4 - x1 - x2)/2) = (x2 + x3)/2 + s((x4 + x1 - x2 - x3)/2)
- (y1 + y2)/2 + t((y3 + y4 - y1 - y2)/2) = (y2 + y3)/2 + s((y4 + y1 - y2 - y3)/2)
7. Решив эту систему, мы можем найти значения t и s, которые будут равны 0.5. Это означает, что точка E делит отрезки MN и PQ пополам.
Ответ:
Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, в точке пересечения делятся пополам.