Дано:
Четырехугольник ABCD, где M и N — середины сторон AB и CD соответственно, а P и Q — середины сторон AD и BC соответственно. Отрезки MN и PQ соединяют середины противоположных сторон.
Найти:
Сумму площадей двух закрашенных четырехугольников равную сумме площадей двух незакрашенных.
Решение:
Обозначим площадь четырехугольника ABCD как S(ABCD). Разделим эту площадь на четыре части с помощью отрезков MN и PQ. Обозначим площади частей следующим образом:
S1 — площадь закрашенного четырехугольника AMQP,
S2 — площадь незакрашенного четырехугольника MNBQ,
S3 — площадь незакрашенного четырехугольника PQCN,
S4 — площадь закрашенного четырехугольника DNPA.
Поскольку MN и PQ соединяют середины сторон, мы можем использовать свойство средних линий в четырехугольниках. Это свойство гласит, что если отрезки соединяют середины сторон, то они параллельны и равны половине соответствующих сторон.
Теперь рассмотрим площади четырехугольников AMQP и DNCQ. Площади этих четырехугольников являются подобными частями четырехугольника ABCD.
Площадь S(ABCD) равна сумме:
S(ABCD) = S1 + S2 + S3 + S4.
Из-за симметрии и равенства отрезков MN и PQ, можно утверждать, что:
S1 + S4 = S2 + S3.
Таким образом, сумма площадей закрашенных четырехугольников (S1 + S4) равна сумме площадей незакрашенных четырехугольников (S2 + S3).
Ответ:
Сумма площадей двух закрашенных четырехугольников равна сумме площадей двух незакрашенных.