Дано:
- Треугольник ABC.
- Квадрат ABMN построен на стороне AB во внешней области.
- Квадрат BCPQ построен на стороне BC во внешней области.
Найти:
- Доказать, что центры квадратов ABMN и BCPQ и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.
Решение:
1. Обозначим центры квадратов:
- O1 — центр квадрата ABMN,
- O2 — центр квадрата BCPQ.
2. Поскольку стороны квадратов равны длинам соответственно AB и BC, то:
- О1 находится на расстоянии (AB / 2) по перпендикуляру к AB от точки B.
- О2 находится на расстоянии (BC / 2) по перпендикуляру к BC от точки B.
3. Середина отрезка MQ обозначим как O3, а середину отрезка AC — как O4.
4. Рассмотрим координаты точек:
- Пусть A = (0, 0), B = (c, 0), C = (a, b).
- Тогда M = (c, h1) и N = (c + h1, h1), где h1 — высота квадрата ABMN.
- Аналогично, Q = (a + h2, b) и P = (a, b + h2), где h2 — высота квадрата BCPQ.
5. Найдем координаты центров квадратов:
- O1 = ((c + c + h1) / 2, h1 / 2) = (c + h1/2, h1/2).
- O2 = ((a + (a + h2)) / 2, (b + (b + h2)) / 2) = (a + h2/2, b + h2/2).
6. Теперь найдем координаты O3 и O4:
- Для O3, середина MQ: O3 = ((c + (a + h2)) / 2, (h1 + b) / 2).
- Для O4, середина AC: O4 = ((0 + a) / 2, (0 + b) / 2) = (a/2, b/2).
7. Чтобы показать, что O1, O2, O3 и O4 образуют квадрат, нужно проверить, что все стороны равны, а углы между ними 90 градусов.
8. Находим длины сторон:
- Длина O1O2, O2O3, O3O4, O4O1.
- Используя формулы для расстояния между двумя точками, можно выразить длину каждой стороны через h1 и h2.
9. Проверим углы:
- Углы между векторами O1O2 и O2O3, а также O3O4 и O4O1 должны быть равны 90 градусам, используя скалярное произведение.
10. Если выполняется условие равенства длин сторон и взаимного перпендикуляра, то O1, O2, O3 и O4 действительно образуют квадрат.
Ответ:
Центры квадратов ABMN и BCPQ, а также середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.