Дано:
1) Треугольник ABC.
2) Медиана AM, проведенная из вершины A в середину стороны BC.
3) Медиана MN, проведенная из вершины A в середину стороны AB в треугольнике AMB.
4) Медиана NK, проведенная из вершины M в середину стороны BN в треугольнике MBN.
5) Необходимо доказать, что медиана KF треугольника BNK параллельна прямой AC.
Найти:
Показать, что медиана KF || AC.
Решение:
1) Обозначим точки, где M - середина отрезка BC, N - середина отрезка AB и K - середина отрезка BN.
2) Поскольку M является серединой отрезка BC, то BM = MC. Также, так как N - середина AB, то AN = NB.
3) Теперь рассмотрим треугольники AMN и ABC. Из свойств медиан мы знаем, что площадь треугольника AMN равна половине площади треугольника ABC, поскольку MN является медианой и делит треугольник на два равных по площади треугольника.
4) Далее, в треугольнике MBN, медиана NK делит его на два треугольника: MBK и MBN. Поскольку K - середина BN, то BK = KN.
5) Теперь рассмотрим треугольник BNK. Поскольку K является серединой отрезка BN, то медиана KF, проведенная из вершины B в сторону NK, будет делить треугольник BNK на два меньших треугольника, которые будут подобны треугольникам AMN и ABC.
6) Так как медианы AM и KF соответственно делят свои треугольники на равные части, то они будут пропорциональны между собой. Это значит, что отношение длины KF к длине AC одинаково.
7) Поскольку медиана KF и прямая AC образуют такие же углы с основанием, то отрезок KF будет параллелен прямой AC.
Ответ:
Медиана KF треугольника BNK параллельна прямой AC.