Question

В треугольнике ABC на стороне АС выбрана точка К таким образом, что АК : КС =1:2. Через точку К провели прямую, параллельную стороне АВ и пересекающую сторону ВС в точке L. Затем через точку L провели прямую, параллельную стороне АС, до пересечения со стороной АВ в точке М. Наконец, через точку М провели прямую, параллельную стороне ВС, до пересечения со стороной АС в точке N. Докажите, что N — середина КС.

Answer 1

Дано:

- Треугольник ABC.
- Точка K на стороне AC такова, что AK : KC = 1 : 2.
- Прямая, проведенная через K, параллельна AB и пересекает BC в точке L.
- Прямая, проведенная через L, параллельна AC и пересекает AB в точке M.
- Прямая, проведенная через M, параллельна BC и пересекает AC в точке N.

Найти:

Докажите, что N — середина отрезка KC.

Решение:

1. Обозначим длины отрезков:
   - Пусть AK = x, тогда KC = 2x, и AC = AK + KC = x + 2x = 3x.

2. Поскольку прямая KL параллельна AB, треугольники AKL и ABL подобны (по признаку подобия по углам).

3. По свойству подобных треугольников имеем отношение:

   AK / AB = KL / LB.

4. Так как AK = x, а AC = 3x, можно записать:

   x / AB = KL / LB.

5. Далее, прямая LM параллельна AC, следовательно, треугольники ABL и AML также подобны.

6. Из подобия треугольников ABL и AML получаем:

   AB / AM = BL / AL.

7. Параметризуем длины отрезков:
   - Пусть AB = a, AL = n, BL = m.
   - Таким образом, из предыдущего уравнения получаем:

   a / AM = m / n.

8. Наконец, прямая MN параллельна BC, поэтому треугольники AML и AMC тоже подобны.

9. По свойству подобия треугольников имеем:

   AM / AC = ML / LC.

10. Подставляем известные значения:

    AM / 3x = ML / 2x.

11. Из этого следует, что ML : LC = 1 : 2. Это означает, что точка N делит отрезок KC в отношении 1 : 1. Следовательно, N является серединой отрезка KC.

Ответ:
N — середина отрезка KC.