В треугольник ABC вписан ромб AMKN так, что точки М, К к N лежат на сторонах АВ, ВС и АС соответственно. Найдите стороны АВ и ВС треугольника, если ВК : КС = 2:3, а сторона ромба равна 12.
от

1 Ответ

Дано:

- Треугольник ABC.
- Вписан ромб AMKN, где точки M, K, N лежат на сторонах AB, BC и AC соответственно.
- Отношение BK : KC = 2 : 3.
- Сторона ромба равна 12.

Найти:

Стороны AB и BC треугольника.

Решение:

1. Обозначим:
   - BK = 2x,
   - KC = 3x,
   
где x - некоторый коэффициент. Тогда длина стороны BC будет равна:

BC = BK + KC = 2x + 3x = 5x.

2. Так как ромб AMKN имеет все стороны равные, его сторона равна 12.

3. Из свойств ромба следует, что:
   - AM = AK = AN = 12.

4. Рассмотрим треугольник BKC. Мы можем выразить высоту h, проведенную из точки B к стороне AC через сторону romba и угол при вершине B.

5. Поскольку ромб вписан в треугольник, функция отношения сторон также применима. По аналогии с треугольником BKC, мы имеем следующее выражение для высоты h:

h = AM * sin(∠ABM).

6. Теперь применим теорему о подобных треугольниках. Поскольку BK и KC находятся в отношении 2:3, то мы можем выразить отношение сторон AB и BC через это соотношение.

7. Пусть AB = a. Тогда используя подобие, имеем:

AB / BC = AM / BK

Подставляем известные значения:

a / 5x = 12 / 2x.

8. Упростим это уравнение:

a / 5x = 6 / x.

9. Умножая обе стороны на 5x, получаем:

a = 30.

10. Теперь найдем длину стороны BC, подставив a обратно в уравнение:

BC = 5x, а для нахождения x используем BK:

BK = 2x = (2/5) * BC.

11. Подставляя BC = 30, мы получаем:

2x = (2/5) * 30 => 2x = 12 => x = 6.

12. Теперь, подставляем x назад, чтобы найти BC:

BC = 5x = 5 * 6 = 30.

Ответ:
Сторона AB = 30, сторона BC = 30.
от