Question

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AM и CN, которые пересеклись в точке Н. Известно, что NB = 21, ВМ = 27, МС = 8, СН = 10. Докажите, что треугольники:
а)  АВМ и CBN подобны, найдите AN;
б)  ANH и СМН подобны, найдите АН.

Answer 1

а)

дано:
- NB = 21
- BM = 27
- MC = 8

найти:
AN.

решение:

1. Найдем длину AB:

   AB = AM + MB = AN + 27.

2. По условию задачи, высоты AM и CN пересекаются в точке H, и углы BMN и CBN равны (так как они являются вертикальными углами).

3. Следовательно, треугольники ABM и CBN подобны по двум углам.

4. Используем соотношение сторон подобных треугольников:

   AB / CB = BM / BN.

5. Подставим известные значения:

   (AN + 27) / (8 + 21) = 27 / 21.

6. Упростим дробь справа:

   (AN + 27) / 29 = 27 / 21.

7. Перемножим крест-накрест:

   21 * (AN + 27) = 27 * 29.

8. Раскроем скобки и упростим:

   21AN + 567 = 783.

9. Переносим 567 на правую сторону:

   21AN = 783 - 567.

10. Упрощаем:

   21AN = 216.

11. Делим обе стороны на 21:

   AN = 216 / 21.

12. Рассчитаем значение:

   AN = 10.2857 (около 10.29).

ответ:
AN = 10.29.


б)

дано:
- AN = 10.2857 (около 10.29)
- CN = CH + NH = CH + 10
- BM = 27
- CN = 10 (по условию)

найти:
AH.

решение:

1. Так как треугольники ANH и CMH имеют общий угол AHC и углы ANH и CMH равны, то они подобны по двум углам.

2. Используем соотношение сторон подобных треугольников:

   AN / CM = AH / CH.

3. Подставим известные значения:

   10.2857 / 8 = AH / 10.

4. Перемножим крест-накрест:

   10 * 10.2857 = 8 * AH.

5. Упрощаем:

   102.857 = 8 * AH.

6. Делим обе стороны на 8:

   AH = 102.857 / 8.

7. Рассчитаем значение:

   AH = 12.8571 (около 12.86).

ответ:
AH = 12.86.