Дано:
- Треугольник ABC.
- Высоты AM и CK пересекаются в точке H.
- Точки O и E — середины отрезков AC и BH соответственно.
Найти:
- Доказать, что прямые OE и MK перпендикулярны.
Решение:
1. Поскольку AM и CK — высоты треугольника, то они перпендикулярны сторонам BC и AB соответственно. Таким образом, угол AMH = 90° и угол CKH = 90°.
2. Поскольку O и E — середины отрезков AC и BH, то отрезок OE является средней линией в треугольнике BHC. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, OE || AB и OE = 1/2 * AB.
3. Поскольку AM и CK — высоты, точка H является ортоцентром треугольника ABC. Это означает, что H является точкой пересечения высот, а точки O и E лежат на средней линии треугольника BHC.
4. В треугольнике BHC, если OE || AB, и поскольку AM и CK перпендикулярны основаниям BC и AB соответственно, то прямые OE и MK должны быть перпендикулярны. Это следует из того, что любые две параллельные прямые, проходящие через середины сторон треугольника, перпендикулярны высотам треугольника.
Ответ:
Прямые OE и MK перпендикулярны, поскольку OE является средней линией треугольника BHC, а MK — высотой треугольника BHC.