Дано:
Треугольник ABC, где AM = AC = CK. Точки M и K находятся на сторонах AB и BC соответственно. Отрезки AK и CM пересекаются в точке E.
Найти:
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки E на сторону AC, проходит через центр вписанной в треугольник окружности.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков: AM = d, AC = d, CK = d.
2. Таким образом, можно записать: AB = AM + MB = d + MB и BC = BK + KC = BK + d.
3. Из-за равенства отрезков, проведенных из одной вершины к двум другим сторонам, можно заметить, что точки M и K делят стороны AB и BC на пропорциональные отрезки.
4. Рассмотрим треугольник AMC и треугольник BCK:
- Эти треугольники имеют равные стороны AM и CK (по условию), а также общую сторону AC.
- Следовательно, угол AMC равен углу BCK, так как оба этих угла противолежащие.
5. Поскольку треугольники AMC и BCK подобны, то:
AE / EC = AM / MK = AC / CK,
что указывает на пропорциональность отрезков.
6. Теперь рассмотрим точку E и перпендикуляр, опущенный из нее на сторону AC.
Обозначим этот перпендикуляр как EH.
7. В силу симметрии и равенства отрезков, высота EH будет проходить через центральную точку на стороне AC, которая является расстоянием до центра вписанной окружности.
8. Центр вписанной окружности обозначается как I. Поскольку EH является перпендикуляром к AC, а также по свойствам симметрии, точка I будет лежать на линии EH.
9. Таким образом, угол AIE = 90°, что подтверждает, что перпендикуляр из E на AC проходит через центр вписанной окружности.
Ответ:
Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки E на сторону AC, действительно проходит через центр вписанной в треугольник окружности.