дано:
- Треугольник ABC — прямоугольный.
- CH — высота, проведённая из вершины C на гипотенузу AB.
найти:
1) Доказать, что треугольники АНС, СНВ и АСВ подобны между собой;
2) Доказать, что АН * НВ = НС^2.
решение:
1) Доказательство подобия треугольников:
- В треугольнике ABC угол C является прямым, следовательно, углы A и B являются острыми.
- Рассмотрим треугольники АНС и АСВ:
- Угол AHC равен углу A в треугольнике ACB (соответствующие углы).
- Угол HCA равен углу CAB (так как CH перпендикулярен AB).
- Значит, треугольники АНС и АСВ подобны по критерию угла-угла.
- Теперь рассмотрим треугольники СНВ и АСВ:
- Угол CHB равен углу B в треугольнике ACB (соответствующие углы).
- Угол HBC равен углу ABC (так как CH перпендикулярен AB).
- Таким образом, треугольники СНВ и АСВ также подобны.
- Следовательно, треугольники АНС, СНВ и АСВ подобны между собой.
2) Доказательство отношения:
- Обозначим:
- AH = a
- HB = b
- CH = h
- Из свойства подобия треугольников получаем:
AH / AC = CH / AB => a / (a + b) = h / c, где c = AB.
Аналогично:
HB / BC = CH / AB => b / (a + b) = h / c.
- Умножим эти два соотношения:
(AH * HB) / (AC * BC) = (CH^2) / (AB^2).
- По свойству подобных треугольников, мы знаем, что AC * BC = AB * CH, и подставив это, получим:
AH * HB = CH^2.
ответ:
1) Треугольники АНС, СНВ и АСВ подобны между собой.
2) АН * НВ = НС^2.