Дано:
Пусть треугольники ABC и DEF подобны, коэффициент их подобия равен k. Это означает, что отношения длин соответствующих сторон этих треугольников равны:
AB / DE = AC / DF = BC / EF = k.
Найти:
Докажите, что медианы MA и ME, проведённые из соответствующих вершин A и D, относятся как коэффициент подобия этих треугольников.
Решение:
1. Обозначим длины медиан. Медиана треугольника проводится из вершины к середине противоположной стороны. Например, медиана MA делит сторону BC на две равные части: M является серединой отрезка BC, а медиана MD делит отрезок EF на две равные части.
2. По свойству медиан известно, что длина медианы треугольника вычисляется по формуле:
MA = (1/2) * sqrt(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2).
3. Поскольку треугольники ABC и DEF подобны, можно записать соответствующие стороны:
DE = k * AB,
DF = k * AC,
EF = k * BC.
4. Подставим эти значения в формулу длины медианы ME для треугольника DEF:
ME = (1/2) * sqrt(2DE^2 + 2DF^2 - EF^2)
= (1/2) * sqrt(2(k * AB)^2 + 2(k * AC)^2 - (k * BC)^2).
5. Упростим выражение:
ME = (1/2) * sqrt(2k^2 * AB^2 + 2k^2 * AC^2 - k^2 * BC^2)
= (1/2) * sqrt(k^2 (2AB^2 + 2AC^2 - BC^2))
= k * (1/2) * sqrt(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2).
6. Сравнивая длины медиан MA и ME, получаем:
ME = k * MA.
Таким образом, длины медиан MA и ME относятся как коэффициент подобия k:
MA / ME = 1 / k.
Ответ: Медианы подобных треугольников, проведённые из соответственных вершин, относятся как коэффициент подобия этих треугольников.