Дано:
Радиусы окружностей R1 и R2 с центрами в точках I и J соответственно. Окружности не имеют общих точек и не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная делит отрезок IJ в отношении t : p.
Найти:
Соотношение диаметров окружностей D1 и D2.
Решение:
1. Обозначим:
- d = длина отрезка IJ между центрами окружностей,
- R1 = радиус первой окружности (центр I),
- R2 = радиус второй окружности (центр J).
2. Согласно свойствам касательных, расстояние между центрами окружностей I и J можно выразить как:
d = R1 + R2 + (r1 + r2),
где r1 и r2 — расстояния от точек касания до центров окружностей.
3. Общая внутренняя касательная делит отрезок IJ в отношении t : p, поэтому длина отрезка, от центра I до точки деления, будет равна:
(t / (t + p)) * d.
4. Длина отрезка от центра J до той же точки деления будет равна:
(p / (t + p)) * d.
5. Теперь запишем соотношение радиусов через длинные отрезки, полученные выше:
R1 / R2 = (t / (t + p)) / (p / (t + p)) = t / p.
6. Учитывая, что диаметры окружностей D1 и D2 равны удвоенным радиусам, можем записать:
D1 / D2 = 2R1 / 2R2 = R1 / R2 = t / p.
Ответ:
Таким образом, диаметры окружностей относятся как t : p.