Дано:
В угол O вписаны две касающиеся друг друга внешним образом окружности с радиусами r и R (где r < R). Меньшая окружность касается одной из сторон угла в точке A.
Найти:
Длину отрезка OA.
Решение:
1. Обозначим:
- OA = x (длина, которую нужно найти),
- OI1 - центр меньшей окружности,
- OI2 - центр большей окружности.
2. Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами I1 и I2 равно сумме радиусов:
OI1I2 = r + R.
3. Окружность радиуса r касается стороны угла в точке A. Из центра окружности проведем перпендикуляр к стороне OA, который будет равен радиусу r.
4. Для нахождения длины OA можно использовать треугольник OI1A:
OA = OI1 - AI1 = OI1 - r.
5. Расстояние от точки O до точки I1 будет равно:
OI1 = OA / cos(α), где α - угол между AO и линией I1O.
6. Подставляем значение:
OA = OA / cos(α) - r.
7. Теперь у нас есть два выражения для OA:
OA = OA / cos(α) - r
Умножим обе стороны на cos(α):
OA * cos(α) = OA - r * cos(α).
8. Переносим все члены в одну сторону:
OA - OA * cos(α) = r * cos(α),
OA (1 - cos(α)) = r * cos(α).
9. Теперь выразим OA:
OA = r * cos(α) / (1 - cos(α)).
Таким образом, получаем выражение для OA через радиусы r и R, а также угол α.
Ответ:
OA = r * cos(α) / (1 - cos(α)), где α - угол между OA и касательной к меньшей окружности.