Дано:
Ромб ABCD с вписанной в него окружностью, которая касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P. Указано, что DM = 1 и MC = 4.
Найти:
a) Докажите, что BP • BQ = BC^2.
b) Найдите угол ARC.
Решение:
a) Рассмотрим точки касания окружности с ромбом:
1. Поскольку M и Q являются точками касания, то отрезки BM и BQ равны радиусам окружности, проведенным к сторонам.
2. Обозначим BM = s1, CQ = s2 и BC = a.
3. Из свойств касательной к окружности в точке касания имеем:
- AB = AD = AM + MB = s1 + s1 = 2s1
- BC = CD = BQ + QC = s2 + s2 = 2s2
4. Поскольку стороны ромба равны, получаем:
- 2s1 = 2s2, следовательно, s1 = s2.
5. Длина BC равна 2s1 или 2s2.
6. Теперь рассмотрим треугольник BPR, где P – точка пересечения AM и BC:
- По теореме о секущих: BP * BQ = BC^2.
Таким образом, BP * BQ = (2s1)^2 = 4s1^2 = BC^2.
Ответ на часть а):
BP • BQ = BC^2.
b) Для нахождения угла ARC:
1. Зная, что DM = 1 и MC = 4, находим длину DC:
- DC = DM + MC = 1 + 4 = 5.
2. В ромбе все стороны равны, значит AB = BC = CD = DA = 5.
3. Используем теорему о косинусах для нахождения угла ARC:
- В ромбе ABCD угол ACB является прямым, так как противолежащие углы равны.
- Затем, угол APD = угол DPA, и мы можем записать:
cos(ARC) = AD / AC.
4. Так как AC является диагональю ромба, используем формулу:
AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(5^2 + 5^2) = sqrt(50) = 5sqrt(2).
5. Следовательно:
cos(ARC) = 5 / 5sqrt(2) = 1/sqrt(2).
6. Таким образом, угол ARC можно найти как:
ARC = 45 градусов.
Ответ на часть б):
Угол ARC = 45 градусов.