Дано:
Сторона квадрата a (в метрах).
Найти:
Гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника.
Решение:
1. Обозначим вершину прямого угла треугольника как O, а катеты как OA и OB. Поскольку треугольник равнобедренный, то OA = OB = h.
2. Вершина квадрата на гипотенузе обозначим как C, а остальные две вершины на катетах как D и E. Точки D и E будут находиться на катетах OA и OB соответственно.
3. Обозначим угол при вершине O как α. Тогда угол AOB равен 90°. Поскольку треугольник равнобедренный, угол OAB = угол OBA = α.
4. В связи с тем, что AD и BE равны стороне квадрата a, можно записать следующее:
OD = h - a, OE = h - a.
5. Из геометрии известно, что длина гипотенузы (CO) равна:
CO = OD / cos(α) = OE / sin(α).
6. Также можно выразить длину гипотенузы через стороны катетов:
OC = OA * cos(α) + a = OB * sin(α) + a.
7. С учетом равенства сторон и углов, получаем:
h * cos(α) + a = h * sin(α) + a.
8. Упрощая уравнение, получаем:
h * (cos(α) - sin(α)) = 0.
9. Поскольку h не равно нулю, остается:
cos(α) = sin(α) => tan(α) = 1 => α = 45°.
10. Таким образом, длина гипотенузы треугольника:
согласно теореме Пифагора, она будет равна:
c = √(h^2 + h^2) = h√2.
11. Из треугольника AOE:
AO = OD + DA = (h - a) + a = h,
BO = OE + EB = (h - a) + a = h.
12. Подставляя значение h, получаем:
с = h√2 = (a√2)√2 = 2a.
Ответ:
Гипотенуза треугольника равна 2a.