Дано:
Сторона квадрата a (в метрах).
Найти:
Длину катетов прямоугольного треугольника.
Решение:
1. Обозначим вершину прямого угла треугольника как A, катеты как AB и AC, а гипотенузу как BC. Пусть точка D - одна вершина квадрата на гипотенузе BC, а точки E и F - вершины квадрата на катетах AB и AC соответственно.
2. Угол при вершине A равен 60°, значит угол B равен 30°. Обозначим длины катетов AB и AC как h1 и h2 соответственно. Тогда по свойствам прямоугольного треугольника:
h1 / h2 = tan(60°) = √3.
3. Из этого следует, что h1 = √3 * h2.
4. Поскольку квадрат вписан в треугольник, можно выразить стороны в зависимости от стороны квадрата. Вершина D находится на гипотенузе, а E и F находятся на катетах. Высота квадрата будет равна a.
5. Рассмотрим высоту треугольника из вершины A на гипотенузу BC. Эта высота делит треугольник на два равнобедренных треугольника, и длина этой высоты h может быть найдена следующим образом:
h = (AB * AC) / BC.
6. По теореме синусов в треугольнике ABC можно записать:
BC = h1/ sin(30°) = 2h1 и BC = h2/sin(60°) = 2h2/√3.
7. Поскольку h1 = √3 * h2, можем выразить BC:
BC = 2h2√3.
8. Теперь у нас есть две формулы для BC:
BC = 2h1 = 2(√3 * h2) = 2√3 * h2
BC = 2h2/√3.
9. Равняем оба выражения для BC:
2√3 * h2 = 2h2/√3.
10. Упростим уравнение и получим:
√3 * h2 = h2/√3.
11. Умножим обе стороны на √3:
3h2 = h2.
12. Это указывает на то, что нужно учитывать высоту квадрата в разрезе с катетами. Учитывая, что высота квадрата равна стороне a, мы можем найти катеты через сторону квадрата.
13. Для треугольника у нас есть:
h1 + h2 = a.
14. Подставляем h1 = √3 * h2:
√3 * h2 + h2 = a.
15. Выносим h2 за скобки:
h2(√3 + 1) = a.
16. Отсюда находим h2:
h2 = a / (√3 + 1).
17. Теперь подставим значение h2 в h1:
h1 = √3 * (a / (√3 + 1)) = a√3 / (√3 + 1).
Ответ:
Катеты треугольника равны: h1 = a√3 / (√3 + 1) и h2 = a / (√3 + 1).