Дано:
Сторона квадрата равна 3. Обозначим центр квадрата как O и рассмотрим его координаты: O(0, 0). Вершины квадрата находятся в следующих точках:
A(-1.5, -1.5), B(1.5, -1.5), C(1.5, 1.5), D(-1.5, 1.5).
Найти:
Сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до данной прямой.
Решение:
1. Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0. Поскольку прямая проходит через центр квадрата (0, 0), тогда можно взять C = 0. Таким образом, уравнение примет вид: Ax + By = 0, где A и B - некоторые константы.
2. Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Поскольку C = 0, формула упрощается до:
d = |Ax0 + By0| / sqrt(A^2 + B^2).
3. Теперь вычислим расстояния от каждой вершины квадрата до прямой.
- Для точки A(-1.5, -1.5):
d(A) = |A(-1.5) + B(-1.5)| / sqrt(A^2 + B^2) = |-(1.5A + 1.5B)| / sqrt(A^2 + B^2) = 1.5 |A + B| / sqrt(A^2 + B^2).
- Для точки B(1.5, -1.5):
d(B) = |A(1.5) + B(-1.5)| / sqrt(A^2 + B^2) = |1.5A - 1.5B| / sqrt(A^2 + B^2) = 1.5 |A - B| / sqrt(A^2 + B^2).
- Для точки C(1.5, 1.5):
d(C) = |A(1.5) + B(1.5)| / sqrt(A^2 + B^2) = |1.5A + 1.5B| / sqrt(A^2 + B^2) = 1.5 |A + B| / sqrt(A^2 + B^2).
- Для точки D(-1.5, 1.5):
d(D) = |A(-1.5) + B(1.5)| / sqrt(A^2 + B^2) = |-(1.5A) + 1.5B| / sqrt(A^2 + B^2) = 1.5 |-A + B| / sqrt(A^2 + B^2).
4. Сумма квадратов расстояний от вершин до прямой:
S = d(A)^2 + d(B)^2 + d(C)^2 + d(D)^2.
Подставляем значения из расчетов:
S = (1.5 |A + B| / sqrt(A^2 + B^2))^2 + (1.5 |A - B| / sqrt(A^2 + B^2))^2 + (1.5 |A + B| / sqrt(A^2 + B^2))^2 + (1.5 |-A + B| / sqrt(A^2 + B^2))^2.
Упрощаем:
S = 1.5^2 |A + B|^2 / (A^2 + B^2) + 1.5^2 |A - B|^2 / (A^2 + B^2) + 1.5^2 |A + B|^2 / (A^2 + B^2) + 1.5^2 |-A + B|^2 / (A^2 + B^2).
5. Заметим, что расстояния d(A) и d(C) равны, а d(B) и d(D) также равны, поэтому:
S = 2 * (1.5^2 |A + B|^2 + 1.5^2 |A - B|^2) / (A^2 + B^2).
6. Если A = 1 и B = 1 (для простоты вычислений):
S = 2 * (1.5^2 (1 + 1) + 1.5^2 (1 + 1)) / (1 + 1)
= 2 * (2 * 2.25) / 2
= 2 * 2.25
= 4.5.
Ответ:
Сумма квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до данной прямой равна 4.5.